García Vázquez, Juan Carlos2025-02-032025-02-032024-11-13Vargas Magán, M. (2024). Formas Modulares respecto de ¿_0 (N) y aplicaciones a formas cuadráticas. (Trabajo Fin de Máster Inédito). Universidad de Sevilla, Sevilla.https://hdl.handle.net/11441/168143Este trabajo explora las propiedades de las formas modulares respecto a subgrupos de congruencia, centr´andose en el subgrupo Γ0(N). Comenzamos con una introducci´on al semiplano superior de Poincar´e, presentando las transformaciones fraccionarias lineales y describiendo la geometr´ıa hiperb´olica. Luego, en el segundo y tercer cap´ıtulo presentamos los subgrupos de congruencia y exponemos las series de Eisenstein, las series theta y la funci´on discriminante. Relacionaremos estos ejemplos de formas modulares con las formas cuadr´aticas, una cuesti´on importante en la teor´ıa de n´umeros ya que nos permiten contar y clasificar las maneras en que un n´umero puede expresarse como suma de cuadrados. En el cuarto cap´ıtulo probaremos que los espacios de formas modulares, tanto en el grupo completo PSL2(Z) como en subgrupos de congruencia, tienen dimensi´on finita. En el ´ultimo cap´ıtulo, presentamos los operadores de Hecke. Adem´as de ser una herramienta clave que permite calcular los coeficientes de Fourier de formas modulares concretas, los operadores de Hecke permiten saber c´omo se organiza el espacio de formas modulares.This work explores the properties of modular forms with respect to congruence subgroups, focusing on the subgroup Γ0(N). We begin with an introduction to the Poincar´e upper half-plane, presenting linear fractional transformations and describing hyperbolic geometry. Then, in the second chapter, we introduce congruence subgroups and present Eisenstein series, theta series, and the discriminant function. We will relate these examples of modular forms to quadratic forms, an important issue in number theory, as they allow us to count and classify the ways in which a number can be expressed as a sum of squares. In the third chapter, we will prove that the spaces of modular forms, both for the full group PSL2(Z) and for congruence subgroups, have finite dimension. In the final chapter, we introduce Hecke operators. In addition to being a key tool for calculating the Fourier coefficients of specific modular forms, Hecke operators provide insight into how the space of modular forms is organized.application/pdf96 p.spaAttribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 Internationalhttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/info:eu-repo/semantics/masterThesisinfo:eu-repo/semantics/openAccess