Bernal González, Luis2021-07-062021-07-062020-06-01Sánchez Cuadrado, J.M. (2020). Las funciones Gamma de Euler-Gauss y Zeta de Riemann. (Trabajo Fin de Grado Inédito). Universidad de Sevilla, Sevilla.https://hdl.handle.net/11441/115201The Swiss mathematician Leonhard Euler started the study of the Gamma function when he became interested in the problem of finding a function who maps the non negative integers to the factorial numbers. Gauss also studied the Gamma function, being the first mathematician who thought this function as a complex valued function. Because of the contribution of these mathematicians, the function we are studying is often called Euler-Gauss function. However, the Gamma function is not the only function that generalises the factorial, indeed, there are infinitely many of them. It would not be until the beginning of the XX century that the Danish mathematicians Harald Bohr and Johannes Mollerup distinguish the Gamma function from the rest as the unique generalization of the factorial which is log-convex. It was also Euler the one who started the study of the function that is nowadays known as Riemann Zeta function, but he only was interested in it as a real valued function. Euler was capable of finding a link between the Zeta function and the prime numbers. This is known as the Euler product for the Riemann Zeta function. In 1859, the German mathematician Bernhard Riemann published a paper where he stated for the first time in history the Riemann Hypothesis. In this paper he shows that the prime number theorem follows from the Hypothesis. This problem is still unsolved, being the problem who has drawn the most attention from the mathematicians after Riemann. The famous mathematician David Hilbert was asked once what would be the first thing he will do if, like Barbarrosa1 , he awakes after been 500 years sleeping. His answer was asking if someone had proved the Riemann Hypotehsis. In this work we aim to introduce the theory of the Gamma and Zeta functions in the real line and in the complex plane, followed by its main properties. The work is divided into two parts, each one dealing with the previous functions. In the middle of the work, both functions will be connected, showing the intimate bond between them. Because of the magnitude of results that exist about these functions, it becomes impossible to carry out a work which covers all of them. Here we will try to show a good amount of results. All of them will be proved, except the simpler ones, which are those who are proved in the first years of a Math Degree.El estudio de la función Gamma se remonta a la época del matemático suizo Leonhard Euler, cuando trataba de encontrar una función cuyo valor en los enteros no negativos devolviera su correspondiente factorial. Gauss también contribuyó al estudio de la función Gamma, siendo pionero en su estudio como función de variable compleja. Por la enorme contribución de estos matemáticos, la función Gamma recibe el apellido de Euler-Gauss. Sin embargo, la función Gamma no es la única generalización del factorial que existe, de hecho, existen in nitas. No sería hasta principios del siglo XX cuando los matemáticos daneses Harald Bohr y Johannes Mollerup caracterizarían a la función Gamma como la única generalización del factorial que es logarítmicamente convexa. También fue Euler el precursor de la que hoy es conocida como la función Zeta de Riemann, aunque se limitó a estudiarla como función de variable real. Euler fue capaz de encontrar una relación entre la función Zeta y los números primos mediante lo que hoy en día se conoce como producto de Euler de la función Zeta de Riemann. En 1859, el matemático alemán Bernhard Riemann formula por primera vez la Hipótesis de Riemann, probando que el Teorema de los números primos es consecuencia de esta. A día de hoy, este problema sigue abierto, siendo el problema que más obsesionaría a los matemáticos posteriores a Riemann. El propio David Hilbert dijo que, si al igual que Barbarroja2 , despertara dentro de 500 años, lo primero que haría sería preguntar si alguien había demostrado la Hipótesis de Riemann. En este trabajo se pretende introducir la teoría de las funciones Gamma de EulerGauss y Zeta de Riemann tanto en la recta real como en el plano complejo, así como sus principales propiedades. La obra está divida en dos partes, las cuales tratarán sendas funciones. En el ecuador del trabajo, ambas funciones serán conectadas, desvelando así la estrecha relación que mantienen. Debido a la enorme cantidad de resultados que existen sobre las funciones a estudiar, resulta imposible concebir un trabajo en el que se mostraran todas y cada una de ellas. En este trabajo se intenta dar el mayor número posible de resultados, los cuales se demuestran todos, salvo los más elementales, que entendemos como aquellos que se ven en los primeros cursos de un Grado en Matemáticas.application/pdf125 p.spaAttribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 Internacionalhttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/info:eu-repo/semantics/bachelorThesisinfo:eu-repo/semantics/openAccess