Genericity of the fixed point property under renorming.

Abstract

Una aplicación T definida de un espacio métrico M en M se dice no expansiva si d(Tx, Ty) ≤d(x, y) para todo x, y ∈M. Diremos que un espacio de Banach X tiene la Propiedad Débil del Punto Fijo (w-FPP) si para toda aplicación no expansiva T definida de un subconjunto débilmente compacto convexo C de X en C tiene un punto fijo. En esta disertación, estudiamos principalmente la w-FPP como una propiedad genérica en el conjunto de todas las normas equivalentes de un espacio de Banach reflexivo dado. Una propiedad P se dice genérica en un conjunto A si todos los elementos de A satisfacen P excepto aquellos pertenecientes a un conjunto de tamaño pequeño. Con el fin de establecer los resultados de este trabajo, consideraremos varias nociones de conjuntos pequeños, como por ejemplo los conjuntos de Baire de primera categoría, conjuntos porosos, conjuntos nulos Gausianos o conjuntos direccionalmente porosos. M. Fabian, L. Zajíĉek y V. Zizler probaron que casi todos los renormamientos de un espacio uniformemente convexo en cada dirección (UCED), en el sentido de la categoría de Baire, son también UCED. Debido al resultado de M.M. Day, R.C. James y S. Swaminathan, todo espacio de Banach separable admite una norma equivalente que es uniformemente convexa en cada dirección. Puesto que esta propiedad geométrica implica la FPP, obtenemos la siguiente conclusión: Si X es un espacio de Banach reflexivo separable, entonces casi todos los renormamientos de X satisfacen la w-FPP. Este método no es válido para el caso de los espacios reflexivos no separables. Sin embargo, recientemente T. Domínguez Benavides ha probado que todo espacio de Banach que pueda ser sumergido en c0(Γ), donde Γ es un conjunto arbitrario ( en particular, todo espacio reflexivo) puede ser renormado para tener la w-FPP. Nótese que que el espacio c0(Γ) no es renormable UCED cuando Γ es no numerable, pero satisface la w-FPP porque R(c0(Γ)) < 2, donde R(·) es el coeficiente de García-Falset y todo espacio de Banach X con R(X) < 2 satisface la w-FPP. Usando la misma inmersión, obtenemos el siguiente re-sultado: Sea X un espacio de Banach tal que para algún conjunto Γ existe una aplicación continua lineal uno a uno J : X →c0(Γ). Entonces, casi todas las normas equivalentes q en X (en el sentido de la categoría de Baire) satisfacen la siguiente propiedad: Toda aplicación q-no-expansiva, definida desde un subconjunto convexo débilmente compacto C de X, en C, tiene un punto fijo. En particular, si X es reflexivo, entonces el espacio (X, q) satisface la FPP. Además, extendemos este resultado a cualquier espacio de Banach que pueda ser sumergido en un espacio de Banach Y , más general que c0(Γ) y que satisfaga R(Y ) < 2. Probamos que si X es un espacio de Banach satisfaciendo R(Y ) < 2 y X un espacio de Banach que pueda ser sumergido en Y de manera continua, entonces X puede ser renormado para satisfacer la w-FPP y el conjunto de todas las renormas en X, que no satisfacen la w-FPP, es de primera categoría. En el caso del espacio C(K), donde K es un conjunto disperso tal que K(ω)= ∅, obtendremos que existe una norma | · | que es equivalente a la norma del supremo y R(C(K), | · |) < 2 (luego tiene la w-FPP). Además, casi todas las normas equivalentes a la norma del supremo (en el sentido de la porosidad) también satisfacen la w-FPP.