Inferencia para datos funcionales

Abstract

In recent years, technological advances have made possible to have large masses of data that sometimes correspond to observations of a random phenomenon over a continuous range, that is, functions. The work will deal with the theory and the practice of statistical methods for situations where the available data are functions (instead of numbers or vectors). Chapters 1 and 2 are introductory, consisting of definitions and results that will help us to elaborate this memory. In order to develop the techniques in this piece of work, it will be required the functions to have certain properties. Specifically, it will be assumed that they belong to a Hilbert space. Therefore, in Chapter 1, we will present some properties of these spaces, focusing on the space L2, while in Chapter 2 we introduce some statistical concepts for functions. One of them is the covariance operator, which will be crucial for further developments. In Chapter 3 we estimate the mean function, the covariance function and the covariance operator, and study some properties of such estimators. Sometimes we need to work with the eigenvalues and eigenfunctions of the covariance operator, so in Chapter 4 we will estimate them and study some properties of the estimators, including the asymptotic normality. In Chapter 5 we will introduce the concept of functional principal components, that allow us to reduce the dimension of infinitely dimensional functional data to a small finite dimension in an optimal way. In Chapter 6 we will focus on two tests for: The equality of mean functions: we will study two methods, proving theorems giving the asymptotic null distribution of the corresponding test statistics and their convergence in probability under alternatives. The equality of covariance operators: we will also study the asymptotic null distribution of the test statistic. Finally, in Chapter 7, we will implement some of the techniques previously mentioned in the statistical language R.

En los últimos años, los avances tecnológicos han permitido disponer de grandes masas de datos que, en ocasiones, se corresponden con observaciones de un fenómeno aleatorio a lo largo de un intervalo continuo, esto es, funciones. El trabajo versará sobre teoría y práctica de métodos estadísticos para situaciones donde los datos disponibles son funciones (en vez de números o vectores). Los Capítulos 1 y 2 son introductorios, constando de definiciones y resultados que nos ayudaran a desarrollar esta memoria. Para las técnicas usadas en este trabajo necesitamos que las funciones tengan ciertas propiedades. En nuestro caso que pertenezcan al espacio de Hilbert. Por ello, en el Capítulo 1, veremos algunas propiedades de dichos espacios centrándonos en el espacio L2, mientras que en el Capítulo 2 presentamos algunos conceptos estadísticos para funciones. Uno de ellos es el operador covarianza, que será de vital importancia en futuros desarrollos. En el Capítulo 3 estimaremos la función media, la función covarianza y el operador covarianza, y estudiaremos algunas propiedades de tales estimadores. En ocasiones necesitamos trabajar con los autovalores y autofunciones del operador covarianza, por ello en el Capítulo 4 los estimaremos y estudiaremos algunas propiedades de los estimadores, incluyendo la normalidad asintótica. En el Capítulo 5 introduciremos el concepto de componentes principales funcionales, que nos permiten reducir la dimensión de un conjunto de datos funcionales de dimensión infinita a uno pequeño de dimensión finita de una forma óptima. En el Capítulo 6 nos centraremos en dos contrastes de hipótesis: Igualdad de medias: estudiaremos dos métodos, demostrando teoremas que justifican la distribución asintótica bajo la hipótesis nula de los estadísticos correspondientes, así como su convergencia en probabilidad bajo la hipótesis alternativa. Igualdad de operadores covarianza: estudiaremos también la distribución asintótica bajo la hipótesis nula del estadístico correspondiente a este test. Por último, en el Capítulo 7, implementaremos algunas de las técnicas mencionadas anteriormente en el lenguaje estadístico R.