dc.description.abstract | En este trabajo se presentan varios resultados de tipo teórico y numérico para diversos problemas
diferenciales. Comenzamos analizando un resultado de existencia de solución “admisible”
para las EDPs de Navier-Stokes con condiciones de contorno de tipo Dirichlet. A continuación, tratataremos
dos problemas de control óptimo multi-objetivo asociados a EDPs estacionarias (elíptica
lineal y semi-lineal y Navier-Stokes). Por otro lado, estudiaremos problemas de tiempo mínimo para
EDOs y para la ecuación del calor. También, obtendremos y analizaremos resultados de controlabilidad
nula para una EDP parabólica quasi-lineal. Finalmente, presentaremos métodos de aproximaci
ón numérica de controles nulos parabólicos semi-lineales basados en mínimos cuadrados.
A lo largo de la Historia el hombre siempre ha estado en constante búsqueda de leyes y principios
que rijan formas o fenómenos naturales, con el propósito de explicar o entender el comportamiento
de la Naturaleza. Así, el francés Pierre Louis Moreau de Maupertuis (1698-1759) enunció,
en 1744, el principio de Mínima Acción, por el cual se establece que:
“En todo cambio que se produzca en la Naturaleza, la cantidad de acción necesaria ha
de ser la mínima posible”.
Este es un principio físico que posteriormente las Matemáticas han fundamentado rigurosamente.
En particular, se han desarrollado las técnicas necesarias para dar respuesta a una amplia clase
de problemas de optimización, originándose así la Teoría de Control.
El control de ecuaciones y sisemas diferenciales ha recibido mucha atención en los últimos
tiempos. En particular, el estudio de problemas asociados a EDOs y EDPs no lineales ha generado
una amplia y profunda área de investigación, dando informaciones cruciales sobre un número
creciente de fenómenos de las distintas ramas de la Ciencia como Física, Biología, Economía,
Medicina, etc. e Ingeniería.
Muchos son los campos donde se presentan retos para la Teoría de Control. En algunos casos se
confía en ser capaces de resolver éstos mediante avances tecnológicos que permitan la implementaci
ón de controles más eficientes; es el caso, por ejemplo, del control molecular mediante tecnología
láser o de la Robótica.
Por otro lado, el control de fluidos presenta grandes retos debido a su poder para evitar desastres
medioambientales, como las inundaciones. En este campo, las ecuaciones de Navier-Stokes nos
ayudan a modelar y describir el movimiento de los fluidos.
Este control puede aplicarse también al campo aeroespacial, en el que se busca optimizar la forma
o perfil del ala de una aeronave, de manera que se gobierne el flujo de aire que hay a su alrededor.
También tienen relevancia aplicaciones en Medicina, donde se pretende controlar el comportamiento
de los fluidos que invaden células o moléculas que se incorporan a la sangre; por ejemplo, en
personas diabéticas debemos controlar la concentración de glucosa e insulina.
En todas estas aplicaciones se necesitan importantes avances teóricos y aunque en los últimos
a˜nos se ha progresado considerablemente en el estudio de la Teoría de Control, aún quedan multitud
de preguntas y retos sin resolver.
Así la memoria está dividida en seis capítulos. Cada uno de ellos aborda un problema distinto.
En el primer capítulo, se da una nueva prueba del resultado presentado por Caffarelli-Kohn-
Nirenberg en 1982. Este trabajo es de corte más teórico y se basa en un análisis detallado de
las propiedades de las aproximaciones de las ecuaciones de Navier-Stokes. En este sentido, somos
capaces de demostrar que el límite de las sucesiones dadas por un esquema de Euler semi-implícito,
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tanto en el caso semi-discretizado como completamente discretizado, aplicado a la ecuación de
Navier-Stokes en dimensión 3 con condiciones de Dirichlet, es una solución “admisible” en el
sentido de Scheffer. El interés práctico de esta nueva prueba reside principalmente en que esta
demostración ayuda en la comprobación de los criterios de Caffarelli-Kohn-Nirenberg y, también,
podría ayudar a localizar los puntos singulares, gracias a que las soluciones son límites de sistemas
discretos. Las técnicas aquí utilizadas se pueden aplicar a muchos otros esquemas de aproximación
que conducen a desigualdades de energía análogas.
En el segundo capítulo abordamos un problema de control multi-objetivo. En este caso estudiaremos
la existencia, caracterización, aproximación y simulación numérica de los equilibrios de
Pareto asociados a problemas de control óptimo para una EDP de Poisson, una EDP elíptica semilineal
y las ecuaciones de Navier-Stokes estacionaria. Análogamente, en el capítulo tercero estudiaremos
para estos mismos problemas los equilibrios de Nash tanto desde el punto de vista teórico
como numérico. En estos dos trabajos hemos utilizado el formalismo de Dubovitskii-Milyoutin en
los casos en que los argumentos clásicos de convexidad fallan como es en el caso de las ecuaciones
de Navier-Stokes estacionaria. El interés de estos trabajos es que proporcionan una nueva visión
de los equilibrios de Pareto y de Nash asociados a problemas de control óptimo, algo que se puede
extender y aplicar a muchas otras ecuaciones y sistemas.
En el cuarto capítulo estudiamos problemas de tiempo mínimo. ´ Estos se corresponden con
problemas de control óptimo en el que dentro del funcional que se desea minimizar se incluye
también la variable temporal, de modo que no sólo se desea resolver el problema con mínimo
“esfuerzo” posible sino también en el menor tiempo posible. En este caso, comenzaremos el estudio
viendo qué ocurre cuando nos encontramos con el problema asociado a EDOs lineales y no lineales.
Así, terminaremos el trabajo presentando resultados para la EDP del calor. Se dan varios algoritmos
que permiten calcular el óptimo y además se incluyen varias simulaciones numéricas.
En el quinto y sexto capítulo abordaremos cuestiones relacionadas con la controlabilidad. El
primero de ellos, en el Capítulo 5 es el problema de controlabilidad nula asociada a una EDP
de tipo parabólica quasi-lineal. Así, estudiaremos la existencia y caracterización de solución para
este problema y terminaremos introduciendo un esquema numérico de aproximación y su posterior
simulación en el ordenador. Para la demostración de que el sistema es controlable a cero, usaremos
las estimaciones de Carleman y nos serviremos de un sistema auxiliar linealizado. También, el
algoritmo de aproximación que usaremos es de tipo quasi-Newton.
En el sexto capítulo terminaremos abordando el problema de controlabilidad nula para la EDP
del calor semi-lineal. En este caso, para demostrar que el sistema es controlable a cero, usaremos
de nuevo las estimaciones de Carleman pero nos basaremos también en una aproximación de tipo
mínimos cuadrados, es decir, buscaremos la solución como el mínimo de un funcional cuadrático.
El método aquí aportado nos ayuda a caracterizar la solución y poder luego incluir resultados y
simulaciones. | es |