Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones (20º.2007.Sevilla)

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A conforming mixed flnite element method for the coupling of fluid flow with porous media flow
(2007) Gatica Pérez, Gabriel Nibaldo; Meddahi, Salim; Oyarzúa Vargas, Ricardo
We consider a porous media entirely enclosed within a fluid region, and present a well posed conforming mixed flnite element method for the corresponding coupled problem. The interface conditions refer to mass conservation, balance of normal forces, and the Beavers-Joseph-Safiman law, which yields the introduction of the trace of the porous media pressure as a suitable Lagrange multiplier. The flnite element subspaces deflning the discrete formulation employ Bernardi-Raugel and Raviart-Thomas elements for the velocities, piecewise constants for the pressures, and continuous piecewise linear elements for the Lagrange multiplier. We show stability, convergence, and a priori error estimates for the associated Galerkin scheme. Finally, we provide several numerical results illustrating the good performance of the method and conflrming the theoretical rates of convergence.
A domain decomposition method derived from the Primal Hybrid Formulations for 2nd order elliptic problems
(2007-09) Bernardi, Christine; Chacón Rebollo, Tomás; Chacón Vera, Eliseo; Universidad de Sevilla. Departamento de Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico
We consider the primal hybrid formulation for second order elliptic problems introduced by Raviart-Thomas and apply the classical iterative method of Uzawa to obtain a non overlapping domain decomposition method that converges geometrically with a mesh independent ratio. The proposed method connects with the Finite Element Tearing and Interconnecting (FETI) method proposed by Farhat-Roux and collaborators. In this research work we use the detailed work on domains with corners developed by Grisvard [6], which clarifies the situation of cross-points, and the direct computation of the duality H−1/2 − H1/2 using the H1/2 scalar product; therefore no consistency error appears.
A multiscale method applied to shallow water flow
(2007-09) Martínez Gavara, Anna; Chiavassa, Guillaume; Donat Beneito, Rosa María
A flux-limited second order scheme with the C-property is used to solve the one dimensional or two dimensional Saint-Venant system for shallow water flows with non-flat bottom and friction terms, as is introduced in [7] G. Haro, Numerical simulation of shallow water equations amd some physical models in image processing. Ph.D.Thesis, Departament of Technologies, Universitat Pompeu Fabra, Barcelona, 2005. High resolution at low cost can be obtained by applying a point-value multiresolution transform [2, 3, 9] in order to detect regions with singularities. The above method is applied in these regions, while a cheap polynomial interpolation is used in the smooth zones, thus lowering the computational cost.
A new primal-mixed finite element method for the linear elasticity problem
(2007-09) Barrios Faúndez, Tomás Patricio; Gatica Pérez, Gabriel Nibaldo; Gatica Simpertigue, Luis Fernando; González Taboada, María; Ministerio de Educación y Ciencia; Xunta de Galicia; Universidad de Concepción (Chile)
We introduced a new augmented variational formulation for the elasticity problem in the plane that involves four unknowns, namely, the displacement, the stress tensor, the strain tensor of small deformations and the pressure. We proved that this problem is well posed for appropriate values of a stabilization parameter. We also gave sufficient conditions for the well posedness of the corresponding Galerkin scheme, and detailed concrete examples of discrete spaces satisfying these conditions. We provided error estimates for these cases.
Algunos elementos para la construcción de un Método de Multiescala Variacional “a posteriori”
(2007-09) Chacón Rebollo, Tomás; Domínguez Delgado, Antonio; Universidad de Sevilla. Departamento de Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico; Universidad de Sevilla. Departamento de Matemática Aplicada I (ETSII)
El presente trabajo está dedicado a la resolución de problemas de la Mecánica de Fluidos incompresibles en régimen de convección dominante. Nuestro propósito es presentar una técnica de post-proceso de una solución Galerkin con E.F. P1 inicial oscilante, que permite recuperar a partir de la misma, otra solución no oscilatoria, y que además es una aproximación de segundo orden de la solución continua. Presentamos también, una extensión de esta técnica al caso no lineal, proporcionando un método eficaz para la resolución de choques. Como extensión del Método Multiescala Variacional debido a Hughes, estamos introduciendo un Método Multiescala Variacional “a posteriori”
Algunos resultados recientes en polinomios ortogonales de Sobolev
(2007-09) Moreno Balcázar, Juan José; Ministerio de Educación y Ciencia; Junta de Andalucía
En este trabajo expondré algunos resultados recientes acerca de polinomios ortogonales con respecto a un producto escalar no estándar que involucra medidas de soporte no acotado.
Algunos resultados sobre periodicidad global de ecuaciones en diferencias de orden dos y tres
(2007-09) Balibrea Gallego, Francisco; Linero Bas, Antonio; Fundación Séneca (Comunidad Autónoma de Murcia); Ministerio de Educación y Ciencia; Fondo Europeo de Desarrollo Regional
En esta nota repasamos algunos resultados sobre periodicidad global en ecuaciones (autónomas) en diferencias finitas de órdenes dos y tres, y aportamos algún modesto avance en el tema.
An extinction delay mechanism for some evolution equations
(2007-09) Casal Piga, Alfonso Carlos; Díaz Díaz, Jesús Ildefonso; Vegas Montaner, José Manuel; Ministerio de Educación y Ciencia; Comunidad Autónoma de Madrid; Universidad Complutense de Madrid
We study the ”finite extinction phenomenon”(there exists t0 ≥ 0 such that u(t, x) ≡ 0 ∀t ≥ t0, a.e. x ∈ Ω) for solutions of parabolic reaction-diffusion equations of the type ∂u ∂t − k∆u+λb(t)f(u(t − τ, x)) = 0 and ordinary delayed differential equations (k = 0) with a delay term τ > 0.
An optimal design problem in wave propagation
(2007-09) Bellido Guerrero, José Carlos; Donoso Bellón, Alberto; Ministerio de Educación y Ciencia; Junta de Comunidades de Castilla-La Mancha
In this paper we consider an optimal design problem in wave propagation proposed in [1] SIGMUND O. and JENSEN J.S. Systematic Design of Phononic Band-Gap Materials and Structures by Topology Optimization, The Royal Society of London, Philosophical Transactions, Series A, Vol. 361, pp. 1001–1019, 2003 in the one-dimensional situation: Given two materials at our disposal with different Young’s modulus and different density, the problem consists of finding the best distributions of the two initial materials in a rod in order to minimize the vibration energy in the structure under periodic loading of driving frequency Ω. We comment on relaxation and optimality conditions, and perform numerical simulations of the optimal configurations. We also prove the existence of classical solutions in certain cases.
Análisis de la convergencia del M.E.F. en algoritmos de descomposición de dominio con adaptación de mallado
(2007-09) Simoes, Manuela; Ferragut Canals, Luis
En este trabajo se presenta un algoritmo numérico para la resolución de problemas elípticos lineales y no lineales combinando técnicas de descomposición de dominios con el método de elementos finitos adaptativo. La principal aportaci´on de este trabajo es, pues, la combinación de técnicas de descomposición de dominio con técnicas de adaptación de mallado. La ventaja de usar descomposición de dominios está en el hecho de que podemos considerar un problema que presente características distintas en distintas partes del dominio, como por ejemplo la no linealidad. Considerando la descomposición de dominio adecuada se ahorra tiempo de cálculo y recursos del ordenador, ya que sólo vamos a resolver un problema no lineal en el subdominio correspondiente. Por otra parte, la formulación mediante operadores permite incorporar de manera sencilla la adaptación del mallado a cada subdominio. Para finalizar mostramos algunos experimentos numéricos.
Análisis de un método BEM–FEM para la resolución numérica de un problema de magnetostática en R3
(2007-09) Salgado Rodríguez, María del Pilar; Selgas Buznego, Virginia
En este trabajo analizamos una formulación BEM–FEM sim´etrica para resolver el problema tridimensional de magnetostática utilizando potenciales escalares magnéticos
Análisis de un problema de frontera libre que modela el flujo de hielo polar en un entorno de la grounding line
(2007-09) Fontelos López, Marco Antonio; Muñoz Mazón, Ana Isabel
En esta comunicación presentaremos el estudio de flujo del hielo en un tipo particular de manto de hielo, denominado en la bibliografía inglesa marine ice sheet. Consideraremos un régimen de flujo estacionario modelado por un problema de Stokes en un dominio bidimensional acotado. Analizaremos el comportamiento del flujo en un entorno de la grounding line, que es la zona donde tiene lugar la transición entre la parte del manto polar que desliza sobre una base sólida rocosa y la parte que flota en el mar. Probaremos la existencia de soluciones para grounding lines con ángulo de contacto nulo, vía el teorema de Lax-Milgram. También determinaremos la geometría y propiedades asintóticas de la frontera libre utilizando una formulación en términos. de funciones de corriente y transformadas de Mellin.
Análisis numérico de soluciones autosemejantes de un flujo dispersivo de curvas planas
(2007-09) Hoz Méndez, Francisco de la
En [2] G. Perelman, L. Vega, Self-similar planar curves related to modified Korteweg-de Vries equation, To appear in J. of Diff. Eqns, Perelman y Vega estudian el siguiente flujo geoméetrico de curvas planas reversible en el tiempo, que puede desarrollar singularidades en tiempo finito    zt = −zsss + 3 / 2 z¯sz 2 ss, |zs| 2 = 1, t 6= 0. (1) con s el parámetro de arco. Denotando por k la curvatura de z, esta satisface la mKdV kt + ksss + 3 / 2 k2 ks = 0. (2) Perelman y Vega consideran soluciones autosemejantes de (2) de la forma k(s, t) = 2 (3t) 1/3 u µ s (3t) 1/3 ¶ , t > 0; (3) lo cual conduce a estudiar la EDO uxx − xu + 2u 3 = µ, x ∈ R, µ ∈ R. (4) En esta comunicaci´on, consideraremos µ = 0. Aunque necesitamos conocer u(0) y ux(0), para resolver (4), imponiendo limx→∞ u(x) = 0, los datos iniciales para (4) forman una familia uniparamétrica, que obtendremos numéricamente. Además, daremos evidencia numérica de que las soluciones de (4) correspondientes satisfacen − π 2 ≤ Z ∞ −∞ u(x)dx ≤ π 2 . (5) Por (3), a cada u le corresponde un dato inicial z para (1) en t = 1. Considerando datos iniciales sin intersecciones, mostraremos numéricamente su evolución, así como la formación de una singularidad en t = 0.
Análisis numérico de un modelo de remodelación ósea
(2007-09) Fernández García, José Ramón; Martínez Fernández, Rebeca; Viaño Rey, Juan Manuel; Ministerio de Educación y Ciencia
En este trabajo se estudia, desde el punto de vista numérico, un modelo de remodelación ósea. Este modelo se caracteriza por una ecuación variacional elíptica para el campo de desplazamientos y una ecuación diferencial ordinaria de primer orden en tiempo para describir el proceso fisiológico de remodelado óseo. Utilizando el método de elementos finitos para aproximar la variable espacial y un esquema de Euler para discretizar las derivadas temporales, obtenemos aproximaciones discretas de este problema variacional y probamos un resultado de estimación del error. Bajo condiciones de regularidad adecuadas, deducimos la convergencia lineal del algoritmo respecto de los parámetros de discretización. Finalmente, presentamos algunos resultados numéricos, en un ejemplo bidimensional, para mostrar la validez del algoritmo.
Análisis numérico de un problema de contacto viscoelástico en piezoelectricidad
(2007-09) Barboteu, Mikaël; Fernández García, José Ramón; Ouafik, Youssef; Ministerio de Educación y Ciencia
En este trabajo consideramos un problema de contacto sin rozamiento entre un cuerpo electro-viscoelástico y un obstáculo deformable. La ley constitutiva electroviscoelástica se utiliza para modelar el material y, para el contacto, la clásica condición de contacto de tipo respuesta normal. La formulación variacional de este problema se escribe como un problema acoplado de una ecuaci´on variacional no lineal, de primer orden en tiempo, para el campo de desplazamientos, y una ecuación variacional lineal para el potencial el´ectrico. Entonces, presentamos aproximaciones discretas basadas en el método de los elementos finitos para aproximar la variable espacial y un esquema de Euler para discretizar la derivada temporal. Demostramos un teorema general de estimación del error del que, bajo condiciones de regularidad adicionales, deducimos la convergencia lineal de estas aproximaciones. Finalmente, presentamos algunos ejemplos bidimensionales que demuestran la eficacia del algoritmo.
Aplicaciones de una familia de difusión anisotrópica sobre la evolución de algunos contornos activos
(2007-09) Sanguino Botella, Javier; Platero Dueñas, Carlos; González Manchón, Pedro María; Poncela Pardo, José Manuel; Tobar Puente, María del Carmen
Se presenta una familia de difusión anisotrópica como técnica de realzado de imágenes, con la capacidad de combinar la difusión directa en la curva de nivel con una difusión inversa estabilizada en la componente normal, mejorando los resultados del contorno activo geodésico. Además, permite la introducción de conocimiento a priori, al combinar las técnicas de morfología con el agrupamiento no supervisado de los píxeles, formado super-píxeles que definan fronteras en la evolución del contorno. Para el contorno activo se emplea una nueva técnica tipo narrow-band, en un entorno 3x3 alrededor de los puntos de paso por cero. Esta metodología se ha utilizado para el análisis de imágenes biomédicas procedentes de microscopía en campo claro.
Aproximación de homeomorfismos continuos Hölder por homeomorfismos afines a trozos
(2007-09) Bellido Guerrero, José Carlos; Mora Corral, Carlos; Consejería de Educación y Ciencia (Junta de Comunidades de Castilla-La Mancha); Ministerio de Educación y Ciencia; Engineering and Physical Sciences Research Council (United Kingdom)
En esta comunicación tratamos el problema de la aproximación de homeomorfismos por homeomorfismos afines a trozos. El resultado principal es el siguiente: cualquier homeomorfismo continuo H¨older de exponente α ∈ (0, 1] definido en un dominio de R2 con frontera poligonal, y cuyo inverso tambi´en es continuo H¨older de exponente α, puede ser aproximado en la norma H¨older de exponente β, para un cierto β < α, por homeomorfismos afines a trozos sobre triangulaciones.
Aproximación de un modelo de cristales líquidos nemáticos con un esquema completamente discreto y penalizado
(2007-09) Guillén González, Francisco Manuel; Gutiérrez Santacreu, Juan Vicente; Universidad de Sevilla. Departamento de Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico
En esta comunicación proponemos y analizamos un esquema numérico totalmente discreto con elementos finitos en espacio y diferencias finitas en tiempo para aproximar un modelo de cristales líquidos nemáticos (de tipo Eriksen-Leslie) por medio de un modelo penalizado de tipo Ginzburg-Landau. Se muestra la estabilidad y convergencia de dicho esquema hacia una solución débil del problema continuo, respecto de los parámetros de discretización y del parámetro de penalización.
Aproximación numérica de quinto orden de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi
(2007-09) Serna, Susana
En este trabajo aproximamos la solución de viscosidad de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi asociadas al problema de la reinicialización de curvas de nivel. Utilizamos para ello un método de quinto orden de precisión espacial óptimo para la aproximación de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi. Como aplicación calculamos la aproximación a alto orden de funciones distancia euclidea signadas de curvas en R2.
Asymptotic behaviour of a singularly perturbed convection-diffusion problem in a rectangle with discontinuous Dirichlet data
(2007-09) López García, José Luis; Pérez Sinusía, Ester
We consider a singularly perturbed convection-diffusion equation, −ε△u+ −→v · −→∇u = 0, defined on a rectangular domain Ω ≡ {(x, y)| 0 ≤ x ≤ πa, 0 ≤ y ≤ π}, a > 0, with Dirichlet-type boundary conditions discontinuous at the points (0, 0) and (πa, 0): u(x, 0) = 1, u(x, π) = u(0, y) = u(πa, y) = 0. An asymptotic expansion of the solution is obtained from a a series representation in two limits: a) when the singular parameter ε → 0 + (with fixed distance to the points (0, 0) and (πa, 0)) and b) when (x, y) → (0, 0) or (x, y) → (πa, 0) (with fixed ε). It is shown that the first term of the expansion at ε = 0 contains a linear combination of error functions. This term characterizes the effect of the discontinuities on the ε−behaviour of the solution u(x, y) in the boundary or the internal layers. On the other hand, near the points of discontinuity (0, 0) and (πa, 0), the solution u(x, y) is approximated by a linear function of the polar angle.

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