Estabilidad en teoría combinatoria de la representación

Abstract

Esta tesis presenta el estudio de dos familias de coeficientes: los coeficientes del pletismo y los coeficientes de Kronecker. Ambas familias emergen de la teoría de representaciones y la teoría de funciones simétricas. Por un lado, en 1950, Foulkes observó varias propiedades de estabilidad en sucesiones de coeficientes del pletismo dependientes de un parámetro n: las sucesiones son eventualmente constantes para n suficientemente grande. Estas propiedades fueron probadas en los 90 por Carré y Thibon, usando operadores vertex y otros argumentos combinatorios de funciones simétricas, y por Brion para grupos algebraicos en general (no solo para el grupo general linear) y usando herramientas geométricas de la teoría de representaciones. Incluimos una prueba detallada de los resultados probados por Carré y Thibon con el fin de obtener las cotas para las que dichos coeficientes son constantes. También presentamos una interpretación combinatoria de otros coeficientes del pletismo, los h–coeficientes del pletismo, definidos a partir de la base de funciones homogéneas. Estos coeficientes están relacionados directamente con los coeficientes del pletismo usuales mediante la fórmula de Jacobi–Trudi. Esta interpretación combinatoria de los h–coeficientes del pletismo los describe como el número de puntos enteros en un polítopo que depende de las particiones que indexan los coeficientes. Esta nueva interpretación nos permite dar una demostración combinatoria de las propiedades de estabilidad de Brion, Carré y Thibon. Por otro lado, en 1938, Murnaghan observó un fenómeno de estabilidad en los coeficientes de Kronecker: la sucesión de coeficientes de Kronecker, cuyas particiones asociadas tienen una primera parte creciente, son eventualmente constantes. Los coeficientes de Kronecker reducidos se pueden definir como el valor estable de estas sucesiones de coeficientes de Kronecker. Los coeficientes de Kronecker reducidos son objetos interesantes en sí mismos, y podemos recuperar los coeficientes de Kronecker a partir de ellos. Nosotros investigamos qué ocurre cuando añadimos cajas a las filas y columnas de las particiones que indexan los coeficientes de Kronecker reducidos. Presentamos un estudio de cuatro familias. Para la primera familia de coeficientes de Kronecker reducidos damos fórmulas explícitas de los quasipolinomios lineales de periodo 2 a trozos que los definen, dependiendo de las particiones asociadas. Las otras tres familias tienen en común que una de las particiones que las indexan tiene una sola parte, y que las otras dos particiones son arbitrariamente grandes. Para estas tres familias, presentamos un estudio completo: la función generatriz de los coeficientes de Kronecker reducidos y dos descripciones combinatorias, una en términos de particiones planas en un rectángulo y otra como quasipolinomios, especificando el periodo y el grado de los mismos. Además, comprobamos que la hipótesis de saturación se satisface para los coeficientes de Kronecker reducidos de estas tres familias. Otro enfoque interesante para los coeficientes de Kronecker reducidos son los operadores vertex. Incluimos una prueba del teorema de Murnaghan usando operadores vertex. Esta prueba nos proporciona una descripción de los coeficientes de Kronecker reducidos obtenida por Brion. Los operadores vertex también son usados para dar una descripción de los coeficientes de Kronecker reducidos con una partición asociada de una sola parte en términos de los coeficientes de Littlewood–Richardson.