Extensiones de fragmentos de la Aritmética

Abstract

El presente trabajo se enmarca dentro del campo de estudio de los Modelos de la Aritmética de Peano: PA. En líneas generales, se desarrolla un estudio sistemático de Fragmentos de la Aritmética empleando como metodología el análisis de la complejidad de ... (--) La complejidad sintáctica de sus axiomas.(--) La complejidad descriptiva, desde el punto de vista computacional, del conjunto de sus axiomas.En la primera parte del trabajo, refinamos propiedades conocidas sobre estructuras de elementos definibles, prestando especial atención a aquellos resultados que establecen que en dichas estructuras no son válidos esquemas de inducción o colección. Estos refinamientos son esenciales para obtener propiedades óptimas sobre existencia de extensiones de fragmentos de una cierta complejidad.En la parte central del trabajo, se obtienen resultados (en muchos casos óptimos) sobre la complejidad sintáctica y descriptiva de extensiones de fragmentos. Clásicos de la Aritmética (esto es, los obtenidos al restringir los principios de inducción, colección o minimización a fórmulas $\Sigma-n$ o $\Pi-n$).En la tercera parte del trabajo, se emplean los resultados sobre extensiones anteriores para estudiar Fragmentos Relativizados, es decir, los fragmentos de la Aritmética obtenidos al restringir los principios de inducción, colección, o minimización a fórmulas $\Delta-n(T)$ (esto es, fórmulas $\Sigma-n$ equivalentes a una fórmula $\Pi-n$ y tales que la teoría T demuestra dicha equivalencia). Dichos esquemas habían sido considerados previamente por Fernández Margarit y Lara Martín en relación al estudio del problema de Jeff Paris sobre la equivalencia de los fragmentos de inducción y minimización para fórmulas $\Delta-n$. El objetivo general del estudio de la Aritmética de Peano es obtener una mayor compresión de l|