Algunos métodos del Cálculo de Variaciones

Abstract

The aim of this work is to introduce the Calculus of Variations, showing some of its fundamental methods and techniques. In the first part, our focus will be on regular solutions, and we will study the classical methods that lead to the Euler-Lagrange equations as optimality conditions. We will examine different formulations of these equations, particularly the Hamiltonian formulation, which is connected to the Hamilton-Jacobi system of partial differential equations. By utilizing field theories, we will establish conditions under which the Euler-Lagrange equations are not only necessary but also sufficient conditions. In the second part, we will proof some existence results for weak solutions in Sobolev spaces and provide a brief overview of the vectorial case of these problems and the relaxation theory. Finally we will see some regularity results which will guarantee that solutions which in principle are weak actually are regular solutions.

Esta memoria pretende ser una introducci´on al C´alculo de Variaciones, mostrando algunos de sus m´etodos y t´ecnicas fundamentales. En su primera parte nos interesamos por soluciones regulares a los problemas planteados, y mostramos m´etodos cl´asicos que conducen a las condiciones de optimalidad conocidas como ecuaciones de Euler-Lagrange. Damos varias formulaciones de dichas condiciones, en particular la formulaci´on Hamiltoniana (o ecuaciones can´onicas de Euler-Lagrange), cuyas soluciones est´an relacionadas con el sistema de ecuaciones en derivadas parciales de Hamilton-Jacobi. Mediante la Teor´ıa de Campos proporcionamos condiciones que hacen que las ecuaciones de Euler-Lagrange no s´olo sean condiciones necesarias sino tambi´en suficientes de optimalidad. En la segunda parte probamos resultados de existencia de soluci´on d´ebil en los espacios de Sobolev, y hacemos una breve incursi´on en los problemas vectoriales y en la teor´ıa de la relajaci´on. Finalmente, vemos resultados de regularidad que permiten asegurar que soluciones, que en principio son s´olo d´ebiles, son en realidad fuertes (regulares).